AFFINE

Elle peut se déduire de la fonction linéaire, par une translation
Mais ses propriétés sont très différentes : il n'y a plus proportionnalité entre les deux grandeurs x et f(x) .

On part d'un exemple................. des trains, bien sur !!!
On représente leurs mouvements dans un repère xOy.

1) au temps t = 0 , le train est en O , origine du repère d'axes.Il roule à la vitesse uniforme de 75 km/h.
Représentez graphiquement la distance parcourue en fonction du temps ( on se limitera à 4 heures)
C'est une fonction linéaire, Quel est son coefficient directeur?,Quelle est son équation ?

2)Le train précédent est parti 40 min avant, dans la même direction et à la même vitesse.
Où est-le point qui le représente à l'heure 0 ?
Repérez les segments [OR] , [AA'] , [BB'] , [CC']
>Que pouvez-vous en dire ?
>Quelle est l'équation de la droite (OC') ?
>Comment passe-t-on de O à R, de A' à A de B' à B .....
>Que doit-on ajouter à chaque ordonnée d'un point de (OC') pour obtenir le point de même abscisse sur (RC) ?
>Quelle relation y a-t-il? 6
Y_R = Y_O + 50
Y_A = Y_A' + 50
Y_B = Y_B' + 50
Y_C= Y_C' + 50
...................................
Les points de (RC) se déduisent de ceux de (OC') par une translation de vecteur OR.
La droite (RC) semble représenter une fonction f(x) = 75x + 50
Elle est de la forme Y = aX + b

REMARQUES

Influence du signe du coefficient directeur :
Ci-contre, on a tracé des droites en ne faisant varier qu'un seul élément :
le coefficient directeur a.
Observez l'allure des droites pour lesquelles
a > 0 ,
a < 0 ,
a = 0 .

Influence de la valeur du terme b .
Ci-contre, on a tracé des droites en ne faisant varier qu'un seul élément : le terme b .

Observez l'ordonnée à laquelle chaque droite coupe l'axe des ordonnées.
. . . . . . .

Pour cette raison, b s'appelle "ordonnée à l'origine"

Remarque : lorsque b = 0 , (exemple y = 2x ), on a une fonction linéaire.
La fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine.

Retour début.

Calcul du Coefficient directeur

Formule de calcul :
a = y_A- y_B
x_A- x_B

Explications : Soient deux points de la droite : A(x_A ; y_A ) et B(x_B ; y_B).
Leurs coordonnées vérifientl'équation y = ax + b.
y_A = a x_A + b
y_B = a x_B + b
En soustrayant membre à membre : y_A - y_B = ax_A - ax_B + b - b = a(x_A - x _B )
d'où : a = y_A - y_B
x_A - x_B
>> y n'est pas proportionnel à x.

mais les accroissements de y sont proportionnels aux accroissements de x.
"les (y_A - y_B) proportionnels aux (xA - x_B)"

Construction de la droite représentative d'une fonction affine

Cas 1 : la fonction est de la forme f(x) = ax + b (ou y = ax + b) avec a , b , non nuls .
Il faut et suffit de connaitre deux points de la droite représentative.

Si un point A appartient à la droite, ses coordonnées vérifient l'équation : y_A = ax_A + b. Par commodité, on choisit le point A d'abscisse nulle
son ordonnée est y_A = 0 + b donc y_A = b . A(0 ; b) est un point de la droite
Il reste un second point à placer : on peut choisir le point B d'ordonnée nulle.
On a alors y_B = 0 = ax_B + b . D' où : x_B = - b/a. B(- b/a ; 0) est un second point de la droite
Les points A(0 ; b) et B(- b/a ; 0) déterminent la droite (AB) qui représente la fonction f(x) = ax + b .

Exemple : Tracer la représentaton graphique de f(x) = 3x + 6.
La fonction est de la forme f(x) = ax + b , elle est donc représentée par une droite (D).
Le point A de (D) , d'abscisse nulle a pour ordonnée : f(0) = b = 6 . A(0 ; 6) appartient à la droite (D).
Le point B de (D) , d'ordonnée nulle a pour abscisse : x_B = - 6/3 = - 2 . B(-2 ; 0) appartient à la droite (D).
Il reste à tracer (D) . (D) ne passe généralement pas par l'origine du repère.
Cas 2. : a est nul. la fonction est de la forme f(x) = b.
Quelque soit la valeur de x , f(x) = b. C'est une fonction constante, représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point C(0 ; b).
Retour exercice I et II
Réponse I
Réponse II

Cas des droites parallèles

a = a'

Toutes les droites qui ont le même coefficient directeur sont parallèles.
Si deux droites sont parallèles, alors elles ont des coefficients directeurs égaux .

Cas des droites perpendiculaires

Une droite quelconque est toujours parallèle une droite passant par l'origine. Elle a de plus le même coefficient directeur puisqu'elle s'en déduit par une translation.
Deux droites perpendiculaires entre elles sont donc parallèles respectivement à deux droites perpendiculaires passant par l'origine du repère.
Or deux droites perpendiculaires représentant deux fonctions linéaires ont une relation connue entre leurs coefficients directeurs :

aa' = - 1 ou a = - 1/a'

Lorsque deux droites ont des coefficients directeurs dont le produit est égal à - 1,
alors elles sont perpendiculaires.
Si deux droites sont perpendiculaires, alors le produit de leurs coefficients directeurs est égal à - 1 .
Retour exercice II
Retour début.

Détermination d'une fonction affine :

Connaissant connaissant deux points de la droite représentative.
Condition : les abscisses des deux points sont différentes ; leurs ordonnées sont différentes.
exemple :La droite (D) passe par les deux points : A(-3 ; -14) et B( 4; 7)
Première étape : Calculer le coefficient directeur a .
a = y_B- y_A
x_B - x_A
a = (7 - (-14)) / ( 4 -(-3)) = 21/7 = 3
(AB) est une droite qui "monte" de gauche à droite.

Deuxième étape : Calculer b
On sait que (D) passe par A et a un coefficient directeur égal à 3.
Elle représente une fonction de la forme y = ax + b.
donc : y_A = ax_A + b devient -14 = 3×(-3) + b
d'où b = - 5
La fonction représentée par (D) est donc :f(x) = y = 3x - 5

Retour exercice III
Réponse III

>Connaissant un point et le coefficient directeur

On est ramené à la seconde étape de l'exemple précédent.
Attention : connaitre le coefficient directeur peut signifier que la droite représentative est :
>> parallèle à une droite connue : elle a donc le même coefficient directeur que cette droite .
>>perpendiculaire à une droite connue, de coefficient directeur a :
On utilise alors la relation aa' = - 1 pour calculer a' en connaissant a .
Retour exercice IV
Réponse IV
Retour début.

SORTIE ..........