"MENU"
Juste
quelques mots .....
- Une fonction est une relation qui associe une variable
réelle (x ,ou autre), à une et une seule image de x ,
notée
y = f(x) (ou autre : y = g(x) ou h(x) ....) x est l'antécédent
de y par la fonction f(x)...
- "L'ensemble de définition"
D de la variable x est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles la relation
a un sens et
peut être appliquée à x.
D peut
être différent de 
.
Ainsi pour f(x) = 
l'ensemble de définition de la fonction est l'ensemble des réels
positifs ou nuls:
D peut être formé d'un intervalle ou par l'union de deux
ou plusieurs intervalles.
Sur chacun de ces intervalles, la fonction doit
exister pour toutes les valeurs de la variable.
- Dans un repère, l'ensemble
des points de coordonnées (x ; y) forme une représentation graphique
(ou courbe représentative)
de la fonction f(x) lorsque la variable
x prend toutes les valeurs de l'ensemble de définition D .
-
Sur un intervalle I, une fonction peut être :
- croissante : quelque
soit x , x et f(x) varient dans le même sens : lorsque quelques soient x1
et x2 dans I,
pour
x1>x2, on a : f(x1)>f(x2).
- ou décroissante sur D
: quelque soit x , x et f(x) varient en sens opposés: lorsque quelques
soient x1 et
x2 dans I,
pour x1>x2, on a : f(x1)<f(x2).
lorsque x1>x2, f(x1)< f(x2)
- ou constante sur D : f(x) garde la même valeur quelle
que soit celle de x .
Attention
: >>>>>>>Il ne doit pas y avoir de valeur interdite pour
f(x) entre x1et x2 <<<<<<.
- Lorsqu'une
fonction varie dans le même sens sur un intervalle, on dit qu'elle est strictement
monotone sur cet intervalle.
- Le Tableau de variations de la fonction
représente les intervalles successifs sur chacun desquels la fonction est
strictement monotone. Il comporte les maxima et minima .
a) Ensemble de définition de : f(x) = 4x - 5 .
D = ]- 
;
+ [ .
f(x) est une fonction affine, monotone et croissante sur
.
(signe de a dans ax+b).
b) Ensemble
de définition de : g(x) =.gif){kind=small}
g(x) ne peut être calculé pour x = 3.
3 est une "valeur
interdite" pour g(x).
L' ensemble de définition est donc l'union de deux parties : D
= ]- ; 3[ 
]3 ; + [ .
Notez que
les bornes sont exclues dans ce cas .
c)
Ensemble de définition de :
.
h(x) n'existe que si l'expression sous radical est positive ou nulle.
h(x)
n'est donc définie que pour les réels x 
- 2 .
L'ensemble de définition est D = [ -2 ; + [
.
Sur cet intervalle, h(x) existe quel que soit x.
d)
Ensemble de définition de : 
La
quantité sous radical doit être positive ou nulle, donc : x 
2 .
Le dénominateur ne doit pas être nul, donc x 
0 .0 est une valeur interdite pour f(x).
L'ensemble de définition est D = ]-
; 0 [
] 0 ; + 2 ].
Exemple :
La fonction f(x) = (x - 5)2 - 2 est
- elle croissante ou décroissante sur l'intervalle D = ]-
; 3[?
On donne le tracé par points de la courbe représentative
:
Ce tracé indique que la fonction est
monotone sur l'intervalle D = ]-
; 3[
lorsque
x1 < x2 <3 :
x1 - 5 < x2
- 5 < - 2 (avec x1 - 5< 0 et x2 - 5 <0 ).
donc
: (x1 - 5)2 >(x2 - 5)2 avec
inversion du sens
de l'inégalité.
(x1 - 5)2
- 2 > (x2 - 5)2 - 2
On a alors f(x1) >
f(x2) .
La fonction est monotone et décroissante
sur l'intervalle ]-
; 3[ .
On retrouve bien le sens de variation de la fonction
carré.
Il
peut être renseigné à partir de la connaissance de D
et d'une représentation graphique correcte, mais en Première, vous
le tracerez à partir de l'expression de la fonction. La représentation
graphique en découlera.
En Seconde,
On doit penser
à l' utilisation des fonctions de référence.
Exemple
1 : f(x) = (x - 4)2 - 2 .
En
posant (x - 4) = X , on obtient une fonction g(X) = X2 - 2 .Or, on
connait les propriétés de la fonction carré, X2
.
Cette fonction est monotone , croissante sur l'intervalle ]0 ; +
[ et monotone, décroissante sur l'intervalle ]-
; 0[ .
X
= x - 4 |
-
0
+ |
| fonction carré X2 | +
décroissante
0 croissante
+ |
| fonction g(X) = X2 - 2 | +
décroissante -2
croissante
+ |
x |
-
4
+ |
| fonction f(x) =(x - 4)2 - 2 | +
décroissante
- 2 croissante
+ |
Représentation
Graphique .
%B2.gif)
%B2.gif)
Le
graphe de f(x) = (x - 4)2 - 2
tracé par points,
donne
l'allure de la représentation graphique.
Exemple
2 : 
Valeur
interdite pour x : x = +1 .
- Domaine de définition de f(x) : Dx
= ]- ; 1 [
] 1 ; + [ .
On
peut reconnaître la référence : fonction inverse .
Posons
X = x - 1
g(x) = 1 + 3
X
Valeur
interdite pour X : X = 0 .
La fonction inverse a pour propriétés
:
- Le domaine de définition : DX = ]-
; 0[
]0 ; + [ .
-
Etre décroissante sur DX .
X
= x - 1 |
-
0
+ |
| fonction
inverse 1 X |
+
décroissante
0 décroissante
+ |
| fonction
g(x) = 1 + 3 X |
+
décroissante ||
décroissante + |
x |
-
1
+ |
| fonction |
+
décroissante
|| décroissante
+ |
Représentation
graphique :
.gif)
.gif)
.gif)
Attention au
signe - précédant
le radical.
X
= x - 2 |
X=0
+ |
fonction
 |
0
croissante
+
|
| fonction
- |
0
décroissante
- |
| fonction
g(x) = 5 - |
5
décroissante
- |
x |
x = 2
+ |
fonction
 |
5
décroissante
+ |
Représentation
Graphique :
Exemple
4 .
On donne la fonction f(x) = x (1-x).
>>Vérifier
que 
et
f(x) sont deux expressions égales.
En déduire le tableau de variation
de f(x).
dans
f(x) = 
la quantité entre parenthèses étant élevée
au carré est toujours positive ou au moins nulle. Donc f(x) 
1/4 quelque soit x, f(x) présente donc un maximum pour x = 1/2.Ce maximum
est unique.
Tableau
de variation :
1
- Précisez les conditions d'existence de : .gif){kind=small}
2
- Vérifiez que x2 - x - 6 = (x + 3)(x - 2).
3 - En déduire le
tableau de signes de A(x).
4 - Représenter graphiquement A(x).
.gif)
4
- REPRESENTATION GRAPHIQUE 
.gif)
FONCTIONS AFFINES PAR MORCEAUX
1) Tracer soigneusement
les représentations graphiques de : f(x) = | x - 6 | et de g(x) = | x -
3 | .
2) Résoudre graphiquement f(x) = g(x) .
Pour quelle
valeur de x a-t-on f(x) = g(x) ?
Comparer avec la solution "CALCUL"
de l'exemple 3 "valeurs absolues".
3)
Calculer et représenter graphiquement h(x) = f(x) + g(x) .
Vous
pouvez établir les tableaux de valeurs de f(x),de g(x) et calculer h(x).
h(x)
est une fonction affine par morceaux, représentée par une ligne
brisée d'équations :
h1(x) = 9 - 2x pour x < 3 .
h2(x)
= 2x - 9 pour x > 6 .
h3(x) = 3 pour 3 < x < 6 .
Construire avec soin les courbes
: y = x2 et y = 4x + 5 .
Résoudre graphiquement x2
> 16 et 4x + 5 < x2 .
